Ontsnappingsfractalen

De kleur van een pixel vertelt na hoeveel rondes de berekening is weggelopen.

De regel

Een punt in het vlak is een getal met twee coördinaten. We noemen het c. Begin bij z = 0 en herhaal steeds dezelfde bewerking: kwadrateer z en tel c erbij op.

z → z² + c

Als z verder dan 2 van de oorsprong komt, komt het nooit meer terug. Dan noteren we na hoeveel rondes het is vertrokken: dat getal geeft de pixel zijn kleur. Blijft z in alle toegestane rondes dicht bij de oorsprong, dan hoort het punt bij de verzameling en schilderen we het donker.

Dat doen we voor elke pixel van het beeld. De grens tussen wat snel vertrekt en wat nooit vertrekt is de figuur.

Aan u

Links verandert het onderzochte punt bij elke pixel: dat is de Mandelbrotverzameling. Klik erop en het kruisje komt daar te staan. Rechts staat de Juliafiguur van dat punt: c ligt vast, en wat van pixel tot pixel verandert is het beginpunt van z.

De twee schuifjes voor c doen hetzelfde als de klik, met het toetsenbord. Het iteratieschuifje bepaalt hoeveel rondes elke pixel krijgt: hoe hoger, hoe beter de grens zichtbaar wordt, en hoe langer de tekening er over doet.

Mandelbrotverzameling: klik om c te kiezen

Juliafiguur van het gekozen punt

Maximaal aantal iteraties 60

c, reëel deel -0,40

c, imaginair deel 0,60

De tekening hierboven is een didactisch schema, niet het kunstwerk: ze toont de regel, maar geeft de kleuren, de grootte van de punten en de korrel van de afdruk niet weer.

De aantrekkingsgebieden van Newton

Newton en Nova tellen geen ontsnappingen. Ze zoeken een punt waar een vergelijking nul wordt, hier z³ − 1 = 0, met drie oplossingen. Elk beginpunt komt uiteindelijk dicht bij een van de drie: de pixel krijgt de kleur van de oplossing die hij bereikt.

Het schema heeft maar drie wortels. Het programma trekt er per werk tussen drie en zes. Met weinig stappen hebben veel punten nog niet gekozen en blijven ze donker.

De drie aantrekkingsgebieden van z³ − 1

Newton-stappen 12

Wat verandert van algoritme tot algoritme

Bijna alles zit in de rekenregel die wordt herhaald. De rest is afstelling.

Mandelbrot en Julia-verzameling: De regel hierboven. Bij Mandelbrot is c de pixel. Bij Julia wordt c één keer gekozen voor het hele beeld en verandert het beginpunt.
Burning Ship: Van beide coördinaten van z wordt de absolute waarde genomen voor het kwadrateren. De vormen komen eruit als vlammen.
Tricorn: z wordt voor het kwadrateren vervangen door zijn geconjugeerde. De figuur heeft drie punten.
Multibrot: z wordt tot een gehele macht d verheven, van 3 tot 6, in plaats van 2. De verzameling krijgt d − 1 symmetrieassen.
Phoenix-verzameling: De berekening onthoudt de vorige ronde: er komt een term bij die evenredig is met de vorige z. Het is de enige van de familie met geheugen.
Mandelbrot-zijdefusie: Dezelfde regel, maar de pixels worden niet gekleurd. Er worden willekeurige punten getrokken, het pad van de punten die uiteindelijk ontsnappen wordt gevolgd en getekend met zeer doorzichtige strepen, herhaald door rotatie. De draden stapelen zich op.
Mandelbrot-reliëf, Burning Ship-reliëf, Multibrot-reliëf en Julia-reliëf: Dezelfde regels als Mandelbrot, Burning Ship, Multibrot en Julia, maar in reliëf weergegeven, met een doorlopende kleur in plaats van trappen. Het werk kan ook heel diep in de zoom beginnen.
Newton: De methode van Newton op zⁿ − 1. Elke pixel krijgt de kleur van de wortel die hij bereikt, donkerder naarmate hij er meer stappen voor nodig had.
Nova: Newton met een extra constante: het beeldpunt dient als c en het beginpunt ligt vast. De aantrekkingsgebieden draaien tot krullen.