Frattali di fuga

Il colore di un pixel dice in quanti giri il calcolo è sfuggito.

La regola

Un punto del piano è un numero con due coordinate. Lo chiamiamo c. Si parte da z = 0 e si ripete sempre la stessa operazione: si eleva z al quadrato e si aggiunge c.

z → z² + c

Se z si allontana più di 2 dall'origine, non torna più. Si annota allora in quanti giri è partito: quel numero dà il colore del pixel. Se z resta vicino all'origine per tutti i giri concessi, il punto appartiene all'insieme e lo si dipinge scuro.

Lo si fa per ogni pixel dell'immagine. Il confine tra ciò che parte in fretta e ciò che non parte mai è la figura.

Tocca a voi

A sinistra il punto studiato cambia a ogni pixel: è l'insieme di Mandelbrot. Cliccateci sopra e la croce si posa lì. A destra c'è la figura di Julia di quel punto: c è fisso, e ciò che cambia da un pixel all'altro è il punto di partenza di z.

I due cursori di c fanno lo stesso del clic, da tastiera. Il cursore delle iterazioni fissa quanti giri si concedono a ogni pixel: più è alto, meglio si vede il confine, e più il disegno tarda ad arrivare.

Insieme di Mandelbrot: clicca per scegliere c

Figura di Julia del punto scelto

Iterazioni al massimo 60

c, parte reale -0,40

c, parte immaginaria 0,60

Il disegno qui sopra è uno schema didattico, non l'opera: mostra la regola, ma non riproduce i colori, la dimensione dei punti né la grana della stampa.

I bacini di Newton

Newton e Nova non contano fughe. Cercano un punto in cui un'equazione si annulla, qui z³ − 1 = 0, che ha tre soluzioni. Ogni punto di partenza finisce per avvicinarsi a una delle tre: il pixel prende il colore di quella che raggiunge.

Lo schema ha solo tre radici. Il programma ne sorteggia da tre a sei a seconda dell'opera. Con pochi passi molti punti non hanno ancora scelto e restano scuri.

I tre bacini di z³ − 1

Passi di Newton 12

Ciò che cambia da un algoritmo all'altro

Quasi tutto sta nella riga di calcolo che si ripete. Il resto è regolazione.

Mandelbrot e Insieme di Julia: La regola qui sopra. Per Mandelbrot, c è il pixel. Per Julia, c è scelto una volta per tutta l'immagine e a cambiare è il punto di partenza.
Burning Ship: Si prende il valore assoluto delle due coordinate di z prima di elevarlo al quadrato. Le forme escono come fiamme.
Tricorno: Si sostituisce z con il suo coniugato prima di elevarlo al quadrato. La figura ha tre punte.
Multibrot: Si eleva z a una potenza intera d, da 3 a 6, invece di 2. L'insieme ha d − 1 assi di simmetria.
Insieme di Phoenix: Il calcolo ricorda il giro precedente: si aggiunge un termine proporzionale allo z precedente. È l'unico della famiglia ad avere memoria.
Fusione Mandelbrot-seta: Stessa regola, ma i pixel non vengono colorati. Si sorteggiano dei punti, si segue il percorso di quelli che alla fine sfuggono e lo si traccia con tratti molto trasparenti, ripetuti per rotazione. I fili si accumulano.
Mandelbrot in rilievo, Burning Ship in rilievo, Multibrot in rilievo e Julia in rilievo: Le stesse regole di Mandelbrot, Burning Ship, Multibrot e Julia, ma rese in rilievo, con un colore continuo al posto dei gradini. L'opera può anche partire molto in profondità nello zoom.
Newton: Il metodo di Newton su zⁿ − 1. Ogni pixel prende il colore della radice che raggiunge, scurito in base al numero di passi impiegati ad arrivarci.
Nova: Newton con una costante in più: il punto dell'immagine fa da c e il punto di partenza è fisso. I bacini si torcono in volute.