Fractales de escape

El color de un píxel dice en cuántas vueltas se escapó el cálculo.

La regla

Un punto del plano es un número con dos coordenadas. Lo llamamos c. Se parte de z = 0 y se repite siempre la misma operación: se eleva z al cuadrado y se suma c.

z → z² + c

Si z se aleja más de 2 del origen, ya no vuelve. Entonces se anota en cuántas vueltas se fue: ese número da el color del píxel. Si z se queda cerca del origen durante todas las vueltas concedidas, el punto pertenece al conjunto y se pinta oscuro.

Esto se hace con cada píxel de la imagen. La frontera entre lo que se va rápido y lo que nunca se va es la figura.

Le toca a usted

A la izquierda, el punto estudiado cambia en cada píxel: es el conjunto de Mandelbrot. Haga clic encima y la cruz se pone ahí. A la derecha está la figura de Julia de ese punto: c queda fijo, y lo que cambia de un píxel a otro es el punto de partida de z.

Los dos deslizadores de c hacen lo mismo que el clic, desde el teclado. El deslizador de iteraciones fija cuántas vueltas se concede a cada píxel: cuanto más alto, mejor se ve la frontera, y más tarda en llegar el dibujo.

Conjunto de Mandelbrot: haga clic para elegir c

Figura de Julia del punto elegido

Iteraciones como máximo 60

c, parte real -0,40

c, parte imaginaria 0,60

El dibujo de arriba es un esquema pedagógico, no la obra: muestra la regla, pero no reproduce los colores, el tamaño de los puntos ni el grano de la impresión.

Las cuencas de Newton

Newton y Nova no cuentan escapes. Buscan un punto donde una ecuación se anula, aquí z³ − 1 = 0, que tiene tres soluciones. Cada punto de partida acaba acercándose a una de las tres: el píxel se pinta con el color de la que alcanza.

El esquema solo tiene tres raíces. El programa sortea entre tres y seis según la obra. Con pocos pasos, muchos puntos aún no han elegido y siguen oscuros.

Las tres cuencas de z³ − 1

Pasos de Newton 12

Lo que cambia de un algoritmo a otro

Casi todo está en la línea de cálculo que se repite. El resto es ajuste.

Mandelbrot y Conjunto de Julia: La regla de arriba. En Mandelbrot, c es el píxel. En Julia, c se elige una vez para toda la imagen y lo que cambia es el punto de partida.
Barco en llamas: Se toma el valor absoluto de las dos coordenadas de z antes de elevarlo al cuadrado. Las formas salen como llamas.
Tricornio: Se sustituye z por su conjugado antes de elevarlo al cuadrado. La figura tiene tres puntas.
Multibrot: Se eleva z a una potencia entera d, de 3 a 6, en lugar de 2. El conjunto tiene d − 1 ejes de simetría.
Conjunto de Phoenix: El cálculo recuerda la vuelta anterior: se añade un término proporcional al z previo. Es la única de la familia con memoria.
Fusión Mandelbrot-seda: La misma regla, pero no se colorean los píxeles. Se sortean puntos, se sigue el camino de los que terminan escapando y se traza con rasgos muy transparentes, repetidos por rotación. Los hilos se acumulan.
Mandelbrot en relieve, Barco en llamas en relieve, Multibrot en relieve y Julia en relieve: Las mismas reglas que Mandelbrot, Burning Ship, Multibrot y Julia, pero en relieve, con un color continuo en lugar de escalones. La obra también puede empezar muy lejos en el zoom.
Newton: El método de Newton sobre zⁿ − 1. Cada píxel toma el color de la raíz que alcanza, oscurecido según el número de pasos que tardó en llegar.
Nova: Newton con una constante añadida: el punto de la imagen sirve de c y el punto de partida queda fijo. Las cuencas se retuercen en volutas.