Fluchtzeit-Fraktale

Die Farbe eines Pixels verrät, nach wie vielen Runden die Rechnung davongelaufen ist.

Die Regel

Ein Punkt der Ebene ist eine Zahl mit zwei Koordinaten. Wir nennen sie c. Man beginnt bei z = 0 und wiederholt immer dieselbe Operation: z wird quadriert und c addiert.

z → z² + c

Entfernt sich z mehr als 2 vom Ursprung, kommt es nie wieder zurück. Dann notiert man, nach wie vielen Runden es davongelaufen ist: Diese Zahl bestimmt die Farbe des Pixels. Bleibt z in allen erlaubten Runden nahe am Ursprung, gehört der Punkt zur Menge und wird dunkel gemalt.

Das macht man für jedes Pixel des Bildes. Die Grenze zwischen dem, was schnell davonläuft, und dem, was nie davonläuft, ist die Figur.

Sie sind dran

Links ändert sich der untersuchte Punkt bei jedem Pixel: Das ist die Mandelbrot-Menge. Klicken Sie darauf, und das Kreuz setzt sich dorthin. Rechts sehen Sie die Julia-Figur dieses Punkts: c ist fest, und der Startpunkt von z ändert sich von Pixel zu Pixel.

Die beiden Regler für c tun dasselbe wie der Klick, per Tastatur. Der Iterationsregler legt fest, wie viele Runden jedes Pixel bekommt: Je höher, desto besser sieht man die Grenze, und desto länger dauert das Bild.

Mandelbrot-Menge: Klicken, um c zu wählen

Julia-Figur des gewählten Punkts

Höchstens so viele Iterationen 60

c, Realteil -0,40

c, Imaginärteil 0,60

Die Zeichnung oben ist ein didaktisches Schema, nicht das Kunstwerk: Sie zeigt die Regel, gibt aber weder die Farben noch die Punktgröße noch die Körnung des Drucks wieder.

Die Einzugsgebiete von Newton

Newton und Nova zählen keine Fluchten. Sie suchen einen Punkt, an dem eine Gleichung null wird, hier z³ − 1 = 0, die drei Lösungen hat. Jeder Startpunkt nähert sich am Ende einer der drei: Das Pixel bekommt die Farbe der Lösung, die es erreicht.

Das Schema hat nur drei Nullstellen. Das Programm zieht je nach Werk zwischen drei und sechs. Bei wenigen Schritten haben viele Punkte noch nicht gewählt und bleiben dunkel.

Die drei Einzugsgebiete von z³ − 1

Newton-Schritte 12

Was sich von Algorithmus zu Algorithmus ändert

Fast alles steckt in der Rechenzeile, die wiederholt wird. Der Rest ist Einstellung.

Mandelbrot und Julia-Menge: Die Regel von oben. Bei Mandelbrot ist c das Pixel. Bei Julia wird c einmal für das ganze Bild gewählt, und der Startpunkt ändert sich.
Burning Ship: Von beiden Koordinaten von z wird der Betrag genommen, bevor man quadriert. Die Formen kommen wie Flammen heraus.
Tricorn: z wird vor dem Quadrieren durch sein Konjugiertes ersetzt. Die Figur hat drei Spitzen.
Multibrot: z wird mit einer ganzzahligen Potenz d von 3 bis 6 statt mit 2 potenziert. Die Menge bekommt d − 1 Symmetrieachsen.
Phoenix-Menge: Die Rechnung erinnert sich an die vorige Runde: Es wird ein Term addiert, der zum vorherigen z proportional ist. Sie ist die einzige der Familie mit Gedächtnis.
Mandelbrot-Seide-Fusion: Dieselbe Regel, aber die Pixel werden nicht eingefärbt. Man zieht zufällige Punkte, verfolgt den Weg derer, die am Ende davonlaufen, und zeichnet ihn in sehr transparenten Strichen, die per Drehung wiederholt werden. Die Fäden häufen sich.
Mandelbrot-Relief, Burning-Ship-Relief, Multibrot-Relief und Julia-Relief: Dieselben Regeln wie Mandelbrot, Burning Ship, Multibrot und Julia, aber im Relief gerendert, mit stufenloser Farbe statt Stufen. Das Werk kann auch sehr tief im Zoom beginnen.
Newton: Das Newton-Verfahren auf zⁿ − 1. Jedes Pixel nimmt die Farbe der Nullstelle an, die es erreicht, abgedunkelt je nach Zahl der Schritte, die es dafür brauchte.
Nova: Newton mit einer zusätzlichen Konstante: Der Bildpunkt dient als c, und der Startpunkt ist fest. Die Einzugsgebiete verdrehen sich zu Wirbeln.