Fractales d'échappement

La couleur d'un pixel te dit en combien de tours le calcul est parti trop loin.

C'est quoi, la règle ?

Une fractale, ça peut tenir en une seule ligne de calcul (et c'est un peu vexant). Un point du plan, c'est un nombre à deux coordonnées : on l'appelle c. On part de z = 0, puis on répète toujours la même opération : on élève z au carré et on ajoute c.

z → z² + c

Si z s'éloigne de plus de 2 de l'origine, c'est fini : il reviendra jamais. On note alors en combien de tours il est parti, et c'est ce nombre qui donne la couleur du pixel. Si z reste près de l'origine pendant tous les tours qu'on s'est donnés, le point fait partie de l'ensemble, et on le peint en sombre.

On fait ça pour chaque pixel de l'image. Et la figure, c'est la frontière entre ce qui part vite et ce qui ne part jamais.

À toi de jouer

À gauche, c'est le point d'étude qui change à chaque pixel : c'est l'ensemble de Mandelbrot. Clique dessus, et la croix se pose là. À droite, c'est la figure de Julia de ce point : c est fixé, et c'est le point de départ de z qui change d'un pixel à l'autre.

Les deux curseurs de c font la même chose que le clic, mais au clavier. Le curseur d'itérations fixe combien de tours on accorde à chaque pixel : plus il est grand, mieux on distingue la frontière… et plus le dessin met de temps à venir.

Ensemble de Mandelbrot : clique pour choisir c

Figure de Julia du point choisi

Itérations au plus 60

c, partie réelle -0,40

c, partie imaginaire 0,60

Petite précision : le dessin ci-dessus est un schéma, pas l'œuvre. Il montre la règle, point. Les couleurs, la taille des points, le grain du tirage, il les rejoue pas.

C'est quoi, un bassin de Newton ?

Là, plus de course à l'évasion : Newton et Nova ne comptent pas les échappées. Ils cherchent un point où une équation s'annule, ici z³ − 1 = 0, qui a trois solutions. Chaque point de départ finit par se rapprocher de l'une des trois, et on peint le pixel de la couleur de celle qu'il atteint.

Le schéma n'a que trois racines, alors que le programme en tire entre trois et six selon l'œuvre. Et avec peu d'étapes, beaucoup de points ont pas encore choisi : ils restent sombres.

Les trois bassins de z³ − 1

Étapes de Newton 12

Qu'est-ce qui change d'un algo à l'autre ?

Presque tout tient dans la ligne de calcul qu'on répète. Le reste, c'est du réglage.

Mandelbrot et Ensemble de Julia: La règle d'au-dessus, telle quelle. Pour Mandelbrot, c est le pixel. Pour Julia, c est choisi une fois pour toute l'image, et c'est le point de départ qui change.
Navire en flammes: On prend la valeur absolue des deux coordonnées de z avant de l'élever au carré. Un petit détail, et les formes sortent en flammes !
Tricorne: On remplace z par son conjugué (son symétrique par rapport à l'axe horizontal) avant de l'élever au carré. La figure a trois pointes.
Multibrot: On élève z à une puissance d entière, de 3 à 6, au lieu de 2. Du coup, l'ensemble prend d − 1 axes de symétrie.
Ensemble de Phoenix: Le calcul se souvient du tour d'avant : on ajoute un terme proportionnel au z précédent. C'est la seule de la famille à avoir de la mémoire (les autres, elles, oublient tout à chaque tour).
Fusion Mandelbrot-Soie: Même règle, mais là on ne colorie pas les pixels. On tire des points au hasard, on suit le chemin de ceux qui finissent par s'échapper, et on le trace en traits très transparents, répétés par rotation. Les fils s'accumulent, un peu comme de la soie.
Mandelbrot sculpté, Navire en flammes en relief, Multibrot en relief et Julia en relief: Les mêmes règles que Mandelbrot, Burning Ship, Multibrot et Julia, mais rendues en relief, avec une couleur continue au lieu de paliers. L'œuvre peut aussi démarrer très loin dans le zoom (on est déjà bien enfoncé dans la figure).
Newton: La méthode de Newton sur zⁿ − 1. Chaque pixel prend la couleur de la racine qu'il atteint, assombrie selon le nombre d'étapes qu'il a mis à y arriver.
Nova: Newton avec une constante en plus : le point de l'image sert de c, et le départ est fixé. Résultat, les bassins se tordent en volutes.

Et le hasard, il décide quoi ?

Pour chaque œuvre, le programme tire ces réglages au sort, entre des bornes fixées à l'avance. Une fois tirés, ils bougent plus : ils font partie de l'identité de l'œuvre.