Draadkunst

De regel

Rond 1900 leert Mary Everest Boole kinderen meetkunde met karton, een naald en draad. Geen passer, geen formule. Je trekt twee lijnen die in een hoek samenkomen, verdeelt ze allebei vanaf de hoek van 0 tot n en verbindt dan merkteken i op de eerste met merkteken n − i op de tweede:

draad i: van P + (i/n)(V − P) naar V + (i/n)(Q − V)

Elke draad is recht. En toch verschijnt er, zodra ze allemaal gespannen zijn, een kromme in de hoek: een parabool die niemand heeft getekend. Het is de omhullende van de draden, de lijn die ze allemaal raken zonder dat er één haar volgt.

Hetzelfde idee op een cirkel: je zet n merktekens en verbindt merkteken k met merkteken m × k (na een rondje begin je weer bij nul). Het is een tafel van vermenigvuldiging, gestikt:

draad k: van merkteken k naar merkteken (m × k) modulo n

Met m = 2 krijg je een cardioïde, een hartvorm. Met m = 3 een nefroïde (de lichte kromme die in de zon op de bodem van een koffiekopje valt, echt waar). Nog steeds geen enkele gebogen lijn, alleen segmenten!

Wat verschilt van algoritme tot algoritme

Alle zeven volgen dezelfde regel: alleen rechte segmenten, en de kromme ontstaat uit hun omhullende. De tekening is perfect (geen trillende draad, geen toeval in de lijn): wat verandert is waar de merktekens staan en wie met wie verbonden wordt.

Gestikte hoeken

De hoek van Boole, op elk hoekpunt van een regelmatige veelhoek gezet. Met meerdere lagen wordt een kleinere veelhoek in de vorige gestikt, een halve stap gedraaid, en de parabolen schuiven in elkaar.

Gestikte cirkel

De tafel van vermenigvuldiging op de cirkel, die van het speelgoed. De vermenigvuldiger kiest de figuur: cardioïde, nefroïde, daarna krommen met drie, vier, vijf lussen.

Kruis van Boole

Armen vertrekken vanuit het midden, en elke hoek tussen twee buurarmen wordt als een hoek gestikt, van de punt naar het midden. De parabolen keren elkaar de rug toe en tekenen een ster met evenveel punten als armen.

Gestikte ster

Een sterveelhoek (je verbindt de hoekpunten van een veelhoek en slaat er een paar over), en dan de hoek van Boole in elke punt gestikt. Eén parabool per punt.

Gevouwen ellips

Het vouwen van een papieren schijf: elk merkteken op de rand wordt op een vast punt binnenin gelegd, en elke vouw wordt een draad. Alle vouwen raken een ellips, die leeg blijft in het midden van het doek: hier is de kromme het gat.

Gestikte draaikolk

Een veelhoek, dan een tweede waarvan de hoekpunten iets verder op elke zijde van de eerste liggen, en zo tientallen keren door. De hoekpunten rollen zich in spiralen naar het midden (het muizenprobleem, muizen die elkaar achternazitten).

Gestikte epicykels

Weer de tafel van vermenigvuldiging, maar tussen twee cirkels: merkteken k op de grote cirkel wordt verbonden met merkteken m × k op de kleine. De draden tekenen rozetten, epicycloïden, met een lege schijf in het midden.