Fils tendus

C'est quoi, la règle ?

Vers 1900, Mary Everest Boole apprend la géométrie à des enfants avec du carton, une aiguille et du fil. Pas de compas, pas de formule. On trace deux droites qui se rejoignent en un coin, on les gradue de 0 à n à partir du coin, puis on relie la marque i de la première à la marque n − i de la seconde :

fil i : de P + (i/n)(V − P) à V + (i/n)(Q − V)

Chaque fil est droit. Et pourtant, une fois tous tendus, une courbe apparaît dans le coin : une parabole, que personne n'a tracée. C'est l'enveloppe des fils, la ligne qu'ils frôlent tous sans qu'aucun ne la suive.

Même idée sur un cercle : on pose n repères, et on relie le repère k au repère m × k (on recommence à zéro une fois le tour fini). C'est une table de multiplication, cousue :

fil k : du repère k au repère (m × k) modulo n

Avec m = 2, ça dessine une cardioïde, en forme de cœur. Avec m = 3, une néphroïde (la courbe lumineuse qui se pose au fond d'une tasse de café au soleil, si si). Toujours aucun trait courbe, que des segments !

Qu'est-ce qui change d'un algo à l'autre ?

Les sept suivent la même règle : que des segments droits, et la courbe naît de leur enveloppe. Le tracé est parfait (pas de fil qui tremble, pas de hasard dans le dessin) : ce qui change, c'est où on plante les repères et qui on relie à qui.

Coins cousus

Le coin de Boole, posé à chaque sommet d'un polygone régulier. Avec plusieurs couches, un polygone plus petit est cousu à l'intérieur du précédent, tourné d'un demi-pas, et les paraboles s'emboîtent.

Cercle cousu

La table de multiplication sur le cercle, celle du jouet. Le multiplicateur décide de la figure : cardioïde, néphroïde, puis des courbes à trois, quatre, cinq lobes.

Croix de Boole

Des bras partent du centre, et chaque angle entre deux bras voisins est cousu comme un coin, de la pointe vers le centre. Les paraboles se tournent le dos et dessinent une étoile à autant de branches que de bras.

Étoile cousue

Un polygone étoilé (on relie les sommets d'un polygone en en sautant quelques-uns), puis le coin de Boole cousu dans chaque pointe. Une parabole par pointe.

Ellipse pliée

Le pliage d'un disque de papier : on amène chaque repère du bord sur un point fixe à l'intérieur, et chaque pli devient un fil. Tous les plis frôlent une ellipse, qui reste vide au milieu de la toile : ici, la courbe, c'est le trou.

Tourbillon cousu

Un polygone, puis un second dont chaque sommet est pris un peu plus loin sur chaque côté du premier, et ainsi de suite, des dizaines de fois. Les sommets s'enroulent vers le centre en spirales (c'est le problème des souris qui se poursuivent).

Épicycles cousus

La table de multiplication, mais entre deux cercles : le repère k du grand cercle est relié au repère m × k du petit. Les fils dessinent des rosaces, des épicycloïdes, avec un disque vide au centre.