Het chaosspel

De regel

Het chaosspel past in één zin: je begint bij een punt, kiest willekeurig een hoekpunt, gaat een deel van de weg ernaartoe, zet een punt en begint opnieuw. Dit is de regel:

p' = p + r·(v − p)

Hier is p het huidige punt, v het gekozen hoekpunt en r het deel van de weg. Bij een driehoek en r = ½ gaat het punt halverwege. De eerste sprongen lijken wanordelijk, maar na enkele duizenden punten verschijnen de gaten van de driehoek van Sierpiński: elke sprong stuurt het punt naar een van de drie kleine driehoeken in de hoeken, nooit naar de lege ruimte in het midden.

De varen van Barnsley verandert één detail. In plaats van een hoekpunt kiezen we een van de vier transformaties, elk met zijn eigen gewicht, en passen die toe op het punt:

(x, y) → (a·x + b·y + e, c·x + d·y + f)

De vier reeksen getallen a, b, c, d, e en f zijn die van de varen. De steel wordt één keer op de honderd gekozen, de grote blaadjes 85 keer op de honderd, en elk van de twee paren kleine blaadjes 7 keer op de honderd.

Wat verandert van algoritme tot algoritme

Alle vijf spelen hetzelfde spel: een punt dat van de ene transformatie naar de volgende springt. Wat verandert, is wie die transformaties kiest: de regel ligt vooraf vast, of wordt voor elk werk getrokken.

Barnsley-varen

De varen uit het speeltje. Vier transformaties, de steel, de grote blaadjes en twee paren kleine blaadjes, gespeeld naar hun gewicht. De puntenwolk verandert met de seed, maar de varen blijft een varen.

Sierpiński-driehoek (chaos)

De driehoek uit het speeltje: drie hoekpunten met gelijke kans gekozen, en het punt gaat halverwege. De gaten ontstaan door ophoping. Van werk tot werk verandert alleen de puntenwolk.

Pentaflake (Sierpiński-vijfhoek)

De neef met vijf hoekpunten. Een regelmatige vijfhoek, en het punt legt 1/φ ≈ 0,62 van de weg naar het gekozen hoekpunt af, waarbij φ de gulden snede is: elke kopie wordt dus met 1/(1+φ) verkleind. In de hoeken verschijnen vijf kleine vijfhoeken.

Begrensde willekeurige IFS

Hier wordt de regel zelf willekeurig getrokken, binnen grenzen: een aantal transformaties en begrensde coëfficiënten zodat de figuur in beeld blijft. Elk werk vindt dus zijn eigen attractor uit, en sommige slagen beter dan andere: daarom sorteer ik met de hand voor ik publiceer.

Fractale vlam

Een fractale vlam, naar Scott Draves (2003). De transformaties zijn niet langer alleen affien maar niet-lineair, en de kleur komt van een dichtheidskaart: hoe vaker een plek wordt bezocht, hoe feller ze gloeit. Miljoenen punten stapelen zich op, en de vorm wordt voor elk werk getrokken.