Il gioco del caos
L'immagine si disegna punto per punto, mai in un solo tratto.
La regola
Il gioco del caos sta in una frase: si parte da un punto, si sceglie un vertice a caso, si avanza di una frazione del cammino verso di esso, si mette un punto e si ricomincia. Ecco la regola:
p' = p + r·(v − p)
Qui p è il punto attuale, v il vertice scelto e r la frazione del cammino. Con un triangolo e r = ½, il punto avanza fino a metà strada. I primi salti sembrano disordinati, ma dopo qualche migliaio di punti compaiono i buchi del triangolo di Sierpiński: ogni salto manda il punto in uno dei tre piccoli triangoli degli angoli, mai nel vuoto del centro.
La felce di Barnsley cambia un dettaglio. Al posto di un vertice, si sceglie una trasformazione tra quattro, ciascuna con il suo peso, e la si applica al punto:
(x, y) → (a·x + b·y + e, c·x + d·y + f)
I quattro insiemi di numeri a, b, c, d, e e f sono quelli della felce. Il fusto viene scelto una volta su cento, le foglioline grandi 85 volte su cento e ciascuna delle due coppie di foglioline piccole 7 volte su cento.
A voi
Scegliete una forma e mettete un punto con il pulsante: la freccia mostra il vertice scelto e il punto evidenziato è quello nuovo. Dopo qualche clic la regola è chiara, ma l'immagine non c'è ancora.
Mettete diecimila punti in una volta, oppure avviate la riproduzione per vederli arrivare a poco a poco. Muovete il rapporto: il triangolo si riempie o si sfalda. Il pentagono parte da 0,62, il rapporto dell'algoritmo Pentaflake, ricavato dalla sezione aurea. La felce non ha un rapporto: sceglie una trasformazione, non un vertice.
Punti collocati
Il disegno qui sopra è uno schema didattico, non l'opera: mostra la regola, ma non riproduce i colori, la dimensione dei punti né la grana della stampa.
Cosa cambia da un algoritmo all'altro
Tutti e cinque giocano allo stesso gioco: un punto che salta da una trasformazione alla successiva. Ciò che cambia è chi sceglie queste trasformazioni: la regola è scritta in anticipo, oppure viene estratta per ogni opera.
- Felce di Barnsley
- La felce del giocattolo. Quattro trasformazioni, il fusto, le foglioline grandi e due coppie di foglioline piccole, giocate secondo il loro peso. La nuvola di punti cambia con il seed, ma la felce resta una felce.
- Triangolo di Sierpiński (caos)
- Il triangolo del giocattolo: tre vertici scelti con uguali probabilità, e il punto avanza fino a metà strada. I buchi compaiono per accumulo. Da un'opera all'altra cambia solo la nuvola di punti.
- Pentaflake (pentagono di Sierpiński)
- Il cugino a cinque vertici. Un pentagono regolare, e il punto percorre 1/φ ≈ 0,62 della strada verso il vertice scelto, dove φ è la sezione aurea: ogni copia è quindi ridotta di 1/(1+φ). Agli angoli compaiono cinque piccoli pentagoni.
- IFS casuale limitato
- Qui la regola stessa viene estratta a caso, entro dei limiti: un numero di trasformazioni e coefficienti limitati perché la figura resti nell'inquadratura. Ogni opera inventa così il proprio attrattore, e alcuni riescono meglio di altri: per questo faccio una selezione a mano prima di pubblicare.
- Fiamma frattale
- Una fiamma frattale, da Scott Draves (2003). Le trasformazioni non sono più solo affini ma non lineari, e il colore viene da una mappa di densità: più un punto è visitato, più brilla. Si accumulano milioni di punti, e la forma viene estratta per ogni opera.
Ciò che decide il caso
Per ogni opera, il programma sorteggia queste impostazioni, entro limiti fissati in anticipo.
- Numero di punti Felce di Barnsley da 25.000 a 60.000
- Numero di trasformazioni IFS casuale limitato da 3 a 5
- Fattore di contrazione IFS casuale limitato da 0,35 a 0,6
Gli algoritmi di questa famiglia
- Felce di Barnsley
- Triangolo di Sierpiński (caos)
- Pentaflake (pentagono di Sierpiński)
- IFS casuale limitato
- Fiamma frattale
