El juego del caos

La regla

El juego del caos cabe en una frase: se parte de un punto, se elige un vértice al azar, se avanza una fracción del camino hacia él, se coloca un punto y se vuelve a empezar. Esta es la regla:

p' = p + r·(v − p)

Aquí p es el punto actual, v el vértice elegido y r la fracción del camino. Con un triángulo y r = ½, el punto avanza hasta la mitad. Los primeros saltos parecen desordenados, pero tras unos miles de puntos aparecen los huecos del triángulo de Sierpiński: cada salto envía el punto a uno de los tres pequeños triángulos de las esquinas, nunca al vacío del centro.

El helecho de Barnsley cambia un detalle. En lugar de un vértice, se elige una transformación entre cuatro, cada una con su peso, y se aplica al punto:

(x, y) → (a·x + b·y + e, c·x + d·y + f)

Los cuatro juegos de números a, b, c, d, e y f son los del helecho. El tallo se elige una vez de cada cien, las hojas grandes 85 veces de cada cien, y cada uno de los dos pares de hojas pequeñas 7 veces de cada cien.

Lo que cambia de un algoritmo a otro

Los cinco juegan al mismo juego: un punto que salta de una transformación a la siguiente. Lo que cambia es quién elige esas transformaciones: la regla está escrita de antemano, o se sortea para cada obra.

Helecho de Barnsley

El helecho del juguete. Cuatro transformaciones, el tallo, las hojas grandes y dos pares de hojas pequeñas, jugadas según su peso. La nube de puntos cambia con la semilla, pero el helecho sigue siendo un helecho.

Triángulo de Sierpiński (caos)

El triángulo del juguete: tres vértices elegidos con las mismas probabilidades, y el punto avanza hasta la mitad. Los huecos aparecen por acumulación. De una obra a otra, solo cambia la nube de puntos.

Pentaflake (pentágono de Sierpiński)

El primo de cinco vértices. Un pentágono regular, y el punto recorre 1/φ ≈ 0,62 del camino hacia el vértice elegido, donde φ es el número áureo: cada copia queda reducida en 1/(1+φ). Cinco pequeños pentágonos aparecen en las esquinas.

IFS aleatorio acotado

Aquí la propia regla se sortea al azar, dentro de unos límites: un número de transformaciones y coeficientes acotados para que la figura quede dentro del encuadre. Cada obra inventa así su propio atractor, y unos salen mejor que otros: por eso los selecciono a mano antes de publicar.

Llama fractal

Una llama fractal, según Scott Draves (2003). Las transformaciones ya no son solo afines sino no lineales, y el color viene de un mapa de densidad: cuanto más se visita un lugar, más brilla. Se acumulan millones de puntos, y la forma se sortea para cada obra.