Chaosspiel
Das Bild entsteht Punkt für Punkt, nie in einem Zug.
Die Regel
Das Chaosspiel passt in einen Satz: Man startet bei einem Punkt, zieht zufällig eine Ecke, geht einen Bruchteil des Weges auf sie zu, setzt einen Punkt und beginnt von vorn. Hier ist die Regel:
p' = p + r·(v − p)
Dabei ist p der aktuelle Punkt, v die gezogene Ecke und r der Bruchteil des Weges. Bei einem Dreieck und r = ½ geht der Punkt halb zur Ecke. Die ersten Sprünge sehen wirr aus, doch nach einigen tausend Punkten erscheinen die Löcher des Sierpiński-Dreiecks: Jeder Sprung schickt den Punkt in eines der drei kleinen Dreiecke an den Ecken, nie in die leere Mitte.
Der Barnsley-Farn ändert ein Detail. Statt einer Ecke wird eine von vier Transformationen gezogen, jede mit ihrem Gewicht, und auf den Punkt angewendet:
(x, y) → (a·x + b·y + e, c·x + d·y + f)
Die vier Zahlensätze a, b, c, d, e und f sind die des Farns. Der Stängel wird einmal von hundert gezogen, die großen Fiedern 85 von hundert und jedes der beiden Paare kleiner Fiedern 7 von hundert.
Sie sind dran
Wählen Sie eine Form und setzen Sie mit dem Knopf einen Punkt: Der Pfeil zeigt die gezogene Ecke, und der markierte Punkt ist der neue. Nach ein paar Klicks ist die Regel klar, aber das Bild ist noch nicht da.
Setzen Sie zehntausend Punkte auf einmal oder starten Sie die Wiedergabe, um sie nach und nach ankommen zu sehen. Bewegen Sie das Verhältnis: Das Dreieck füllt sich oder löst sich auf. Das Fünfeck beginnt bei 0,62, dem Verhältnis des Algorithmus Pentaflake, abgeleitet vom Goldenen Schnitt. Der Farn hat kein Verhältnis: Er zieht eine Transformation, keine Ecke.
Gesetzte Punkte
Die Zeichnung oben ist ein didaktisches Schema, nicht das Kunstwerk: Sie zeigt die Regel, gibt aber weder die Farben noch die Punktgröße noch die Körnung des Drucks wieder.
Was sich von Algorithmus zu Algorithmus ändert
Alle fünf spielen dasselbe Spiel: ein Punkt, der von einer Transformation zur nächsten springt. Was sich ändert, ist, wer diese Transformationen wählt: Die Regel steht von vornherein fest oder wird für jedes Werk gezogen.
- Barnsley-Farn
- Der Farn aus dem Spielzeug. Vier Transformationen, der Stängel, die großen Fiedern und zwei Paare kleiner Fiedern, gespielt nach ihrem Gewicht. Die Punktewolke ändert sich mit dem Seed, aber der Farn bleibt ein Farn.
- Sierpiński-Dreieck (Chaos)
- Das Dreieck aus dem Spielzeug: drei Ecken, mit gleichen Chancen gezogen, und der Punkt geht halb zur Ecke. Die Löcher entstehen durch Anhäufung. Von Werk zu Werk ändert sich nur die Punktewolke.
- Pentaflake (Sierpiński-Fünfeck)
- Der Vetter mit fünf Ecken. Ein regelmäßiges Fünfeck, und der Punkt legt 1/φ ≈ 0,62 des Weges zur gezogenen Ecke zurück, wobei φ der Goldene Schnitt ist: Jede Kopie wird also um den Faktor 1/(1+φ) verkleinert. An den Ecken erscheinen fünf kleine Fünfecke.
- Begrenztes zufälliges IFS
- Hier wird die Regel selbst zufällig gezogen, innerhalb von Grenzen: eine Anzahl Transformationen und begrenzte Koeffizienten, damit die Figur im Bild bleibt. Jedes Werk erfindet also seinen eigenen Attraktor, und manche gelingen besser als andere: Deshalb sortiere ich vor der Veröffentlichung von Hand aus.
- Fraktale Flamme
- Eine fraktale Flamme nach Scott Draves (2003). Die Transformationen sind nicht mehr nur affin, sondern nichtlinear, und die Farbe stammt aus einer Dichtekarte: Je öfter ein Ort besucht wird, desto heller leuchtet er. Millionen Punkte häufen sich an, und die Form wird für jedes Werk gezogen.
Was der Zufall entscheidet
Für jedes Werk lost das Programm diese Einstellungen aus, innerhalb vorher festgelegter Grenzen.
- Anzahl der Punkte Barnsley-Farn von 25.000 bis 60.000
- Anzahl der Transformationen Begrenztes zufälliges IFS von 3 bis 5
- Verkleinerungsfaktor Begrenztes zufälliges IFS von 0,35 bis 0,6
Die Algorithmen dieser Familie
- Barnsley-Farn
- Sierpiński-Dreieck (Chaos)
- Pentaflake (Sierpiński-Fünfeck)
- Begrenztes zufälliges IFS
- Fraktale Flamme
