Meetkundige recursie

Eén regel toegepast op elk stuk, dan op de stukken van de stukken.

De regel

Meetkundige recursie betekent: een regel toepassen op een vorm, dan op elk van de stukken die ontstaan, dan op de stukken van de stukken. Neem het Sierpiński-tapijt: je snijdt een vierkant in negen, haalt het middelste weg en begint opnieuw met de acht die overblijven. Bij elke stap wordt het aantal vierkanten met acht vermenigvuldigd:

vierkanten = 8^n

Hier is n de diepte: 1 vierkant bij 0, 8 bij 1, 64 bij 2, dan 512, 4.096. De bomen volgen een ander ritme. De boom van Pythagoras zet een rechthoekige driehoek op een vierkant, en zijn twee rechthoekszijden dragen twee nieuwe vierkanten. De H-boom tekent een lijnstuk en aan elk uiteinde een loodrecht lijnstuk, verkleind met een factor 1/√2. In beide gevallen brengt elk stuk er twee voort:

stukken = 2^(n+1) − 1

De aantallen stijgen snel, vandaar de grens van het speeltje: het tapijt stopt bij 5 stappen, de bomen bij 6.

Aan u

Kies een vorm en draai aan de dieptebalk: het aantal stukken verschijnt bij elke stap, zodat u de twee formules hierboven kunt nagaan. “Volgend niveau” gaat een niveau verder, “Afspelen” rijgt ze aaneen.

Let op wat niet verandert: de regel. Alleen de diepte varieert, en de figuur bevat nooit iets anders dan hetzelfde idee, steeds kleiner herhaald.

Vorm

Diepte 3

Stukken 512

De tekening hierboven is een didactisch schema, niet het kunstwerk: ze toont de regel, maar geeft de kleuren, de grootte van de punten en de korrel van de afdruk niet weer.

Wat verandert van algoritme tot algoritme

Alle acht passen een regel toe op hun eigen resultaten. Wat verandert is de beginvorm, en wat bepaalt wanneer je stopt: een vaste diepte of een begrensd toeval.

Sierpiński-tapijt: Het tapijt van het speeltje: een vierkant in 3 × 3 gesneden, het middelste vak weggehaald, en hetzelfde met de andere acht tot de gekozen diepte (standaard 4). Geen toeval: de variatie van een werk komt uit zijn instellingen, kleuren inbegrepen.
H-boom: De H-boom van het speeltje. Een gecentreerd lijnstuk en aan elk uiteinde een loodrecht lijnstuk, verkleind met een instelbare factor (standaard 1/√2, 7 niveaus). Geen toeval.
Fractale cirkels: De ronde neef van het tapijt: dezelfde 3 × 3-verdeling, maar in elk vak wordt een cirkel ingeschreven in plaats van het te vullen. Door het te herhalen schuiven de ringen in elkaar.
Apollonische pakking: De Apollonische pakking. Een grote cirkel bevat er twee andere, en in elke overblijvende gebogen driehoek schuift men dankzij de stelling van Descartes een nieuwe cirkel die zijn drie buren raakt. Je stopt wanneer een cirkel kleiner dan een pixel wordt.
Pythagoras-boom: De boom van Pythagoras van het speeltje. Een hoek bepaalt de helling van de driehoek: bij 45° is de boom symmetrisch, anders helt hij naar een kant. De vierkanten volgen de helling van hun tak.
Recursieve versnipperaar: Hier komt het toeval om de hoek kijken. Een rechthoek wordt doorgesneden op een punt dat binnen grenzen wordt getrokken (standaard tussen 30 % en 70 % van de zijde), en elk stuk heeft kans om daar te stoppen: zijn rechthoek vullen, een schietschijf tekenen of een schijf plaatsen. Het is de enige van de familie waarvan de verdeling per seed verandert.
Kleiniaanse parels: Kleinse parels. Twee möbiustransformaties en hun inversen genereren een groep, en we tekenen de cirkels die die groep meevoert. We tekenen cirkels, geen pixels: een paar duizend volstaan, waardoor een eindeloze zoom betaalbaar wordt.
Droste: Het Droste-effect: een beeld dat een verkleinde kopie van zichzelf bevat, eindeloos. Elke pixel wordt opnieuw gelezen in log-polaire coördinaten, en een patroon dat zich bij elke omwenteling herhaalt, wordt vanzelf zelfgelijkend. De zoom sluit zich op zichzelf.