Recursión geométrica

Una regla aplicada a cada trozo, y luego a los trozos de los trozos.

La regla

La recursión geométrica consiste en aplicar una regla a una forma, luego a cada uno de los trozos obtenidos, luego a los trozos de los trozos. Tomemos la alfombra de Sierpiński: se corta un cuadrado en nueve, se quita el del medio y se vuelve a empezar con los ocho que quedan. En cada nivel, el número de cuadrados se multiplica por ocho:

cuadrados = 8^n

Aquí n es la profundidad: 1 cuadrado en 0, 8 en 1, 64 en 2, luego 512, 4.096. Los árboles siguen otro ritmo. El árbol de Pitágoras pone un triángulo rectángulo sobre un cuadrado, y sus dos catetos llevan dos cuadrados nuevos. El árbol en H traza un segmento y, en cada extremo, un segmento perpendicular reducido por un factor 1/√2. En ambos casos, cada pieza da lugar a dos:

piezas = 2^(n+1) − 1

Las cifras suben rápido, de ahí el límite del juguete: la alfombra se detiene en 5 niveles, los árboles en 6.

Su turno

Elija una forma y mueva el control de profundidad: el número de piezas se muestra en cada nivel, así que puede comprobar las dos fórmulas de arriba. «Siguiente nivel» sube un nivel, «Reproducir» los encadena.

Fíjese en lo que no cambia: la regla. Solo varía la profundidad, y la figura nunca contiene otra cosa que la misma idea, repetida cada vez más pequeña.

Forma

Profundidad 3

Piezas 512

El dibujo de arriba es un esquema pedagógico, no la obra: muestra la regla, pero no reproduce los colores, el tamaño de los puntos ni el grano de la impresión.

Lo que cambia de un algoritmo a otro

Los ocho aplican una regla a sus propios resultados. Lo que cambia es la forma de partida y lo que decide cuándo parar: una profundidad fija o un azar acotado.

Alfombra de Sierpiński: La alfombra del juguete: un cuadrado cortado en 3 × 3, la casilla central quitada, y lo mismo con las otras ocho hasta la profundidad elegida (4 por defecto). Sin sorteo: la variedad de una obra viene de sus ajustes, colores incluidos.
Árbol en H: El árbol en H del juguete. Un segmento centrado y, en cada extremo, un segmento perpendicular reducido por un factor ajustable (1/√2 por defecto, 7 niveles). Sin sorteo.
Círculos fractales: El primo redondo de la alfombra: el mismo corte en 3 × 3, pero se inscribe un círculo en cada casilla en lugar de rellenarla. A fuerza de repetir, los anillos se encajan unos dentro de otros.
Empaquetamiento apolíneo: La junta de Apolonio. Un círculo grande contiene otros dos y, en cada triángulo curvo que queda, se desliza un círculo nuevo tangente a sus tres vecinos, gracias al teorema de Descartes. Se para cuando un círculo es más pequeño que un píxel.
Árbol de Pitágoras: El árbol de Pitágoras del juguete. Un ángulo regula la inclinación del triángulo: a 45° el árbol es simétrico, en otro caso se inclina hacia un lado. Los cuadrados siguen la inclinación de su rama.
Trituradora recursiva: Aquí el azar entra en juego. Un rectángulo se corta en un punto sorteado dentro de unos límites (por defecto entre el 30 % y el 70 % del lado), y cada trozo tiene una probabilidad de detenerse ahí: rellenar su rectángulo, dibujar una diana o poner un disco. Es la única de la familia cuyo corte cambia de una semilla a otra.
Perlas kleinianas: Las perlas kleinianas. Dos transformaciones de Möbius y sus inversas generan un grupo, y se dibujan los círculos que ese grupo transporta. Se dibujan círculos, no píxeles: unos miles bastan, lo que hace asequible el zoom infinito.
Droste: El efecto Droste: una imagen que contiene una copia reducida de sí misma, hasta el infinito. Cada píxel se vuelve a leer en coordenadas log-polares, y un motivo que se repite en cada vuelta se vuelve autosemejante automáticamente. El zoom se cierra sobre sí mismo.