Ricorsione geometrica

Una regola applicata a ogni pezzo, poi ai pezzi dei pezzi.

La regola

La ricorsione geometrica consiste nell'applicare una regola a una forma, poi a ciascuno dei pezzi ottenuti, poi ai pezzi dei pezzi. Prendiamo il tappeto di Sierpiński: si taglia un quadrato in nove, si toglie quello centrale e si ricomincia con gli otto rimasti. A ogni livello, il numero di quadrati si moltiplica per otto:

quadrati = 8^n

Qui n è la profondità: 1 quadrato a 0, 8 a 1, 64 a 2, poi 512, 4.096. Gli alberi seguono un altro ritmo. L'albero di Pitagora posa un triangolo rettangolo su un quadrato, e i suoi due cateti portano due nuovi quadrati. L'albero a H traccia un segmento e, a ogni estremità, un segmento perpendicolare ridotto di un fattore 1/√2. In entrambi i casi, ogni pezzo ne genera due:

pezzi = 2^(n+1) − 1

I numeri salgono in fretta, da qui il limite del giocattolo: il tappeto si ferma a 5 livelli, gli alberi a 6.

Tocca a voi

Scegliete una forma e girate il cursore di profondità: il numero di pezzi compare a ogni livello, così potete verificare le due formule qui sopra. «Livello successivo» sale di un livello, «Riproduci» li concatena.

Notate ciò che non cambia: la regola. Varia solo la profondità, e la figura non contiene mai altro che la stessa idea, ripetuta sempre più piccola.

Forma

Profondità 3

Pezzi 512

Il disegno qui sopra è uno schema didattico, non l'opera: mostra la regola, ma non riproduce i colori, la dimensione dei punti né la grana della stampa.

Cosa cambia da un algoritmo all'altro

Tutti e otto applicano una regola ai propri risultati. Cambiano la forma di partenza e ciò che decide quando fermarsi: una profondità fissa o un caso limitato.

Tappeto di Sierpiński: Il tappeto del giocattolo: un quadrato tagliato in 3 × 3, la casella centrale tolta, e lo stesso con le altre otto fino alla profondità scelta (4 per impostazione predefinita). Nessun sorteggio: la varietà di un'opera viene dalle sue impostazioni, colori compresi.
Albero a H: L'albero a H del giocattolo. Un segmento centrato e, a ogni estremità, un segmento perpendicolare ridotto di un fattore regolabile (1/√2 per impostazione predefinita, 7 livelli). Nessun sorteggio.
Cerchi frattali: Il cugino rotondo del tappeto: lo stesso taglio 3 × 3, ma in ogni casella si inscrive un cerchio invece di riempirla. A forza di ripetere, gli anelli si annidano gli uni negli altri.
Guarnizione apollinea: La guarnizione di Apollonio. Un cerchio grande ne contiene altri due e, in ogni triangolo curvo rimasto, si inserisce un nuovo cerchio tangente ai suoi tre vicini, grazie al teorema di Cartesio. Ci si ferma quando un cerchio diventa più piccolo di un pixel.
Albero di Pitagora: L'albero di Pitagora del giocattolo. Un angolo regola l'inclinazione del triangolo: a 45° l'albero è simmetrico, altrove si inclina da un lato. I quadrati seguono l'inclinazione del loro ramo.
Trituratore ricorsivo: Qui entra in gioco il caso. Un rettangolo viene tagliato in un punto estratto entro certi limiti (per impostazione predefinita tra il 30 % e il 70 % del lato), e ogni pezzo ha una probabilità di fermarsi lì: riempire il suo rettangolo, disegnare un bersaglio o posare un disco. È l'unica della famiglia il cui taglio cambia da un seed all'altro.
Perle kleiniane: Le perle kleiniane. Due trasformazioni di Möbius e le loro inverse generano un gruppo, e si disegnano i cerchi che quel gruppo trasporta. Si disegnano cerchi, non pixel: ne bastano qualche migliaio, il che rende accessibile lo zoom infinito.
Droste: L'effetto Droste: un'immagine che contiene una copia ridotta di sé stessa, all'infinito. Ogni pixel viene riletto in coordinate log-polari, e un motivo che si ripete a ogni giro diventa automaticamente autosimile. Lo zoom si richiude su sé stesso.