Geometrische Rekursion

Eine Regel, auf jedes Stück angewendet, dann auf die Stücke der Stücke.

Die Regel

Geometrische Rekursion heißt: Man wendet eine Regel auf eine Form an, dann auf jedes entstandene Stück, dann auf die Stücke der Stücke. Nehmen wir den Sierpiński-Teppich: Man teilt ein Quadrat in neun, entfernt das mittlere und beginnt von vorn mit den acht übrigen. Bei jeder Stufe verachtfacht sich die Zahl der Quadrate:

Quadrate = 8^n

Dabei ist n die Tiefe: 1 Quadrat bei 0, 8 bei 1, 64 bei 2, dann 512, 4.096. Die Bäume folgen einem anderen Rhythmus. Der Pythagoras-Baum setzt ein rechtwinkliges Dreieck auf ein Quadrat, und seine beiden Katheten tragen zwei neue Quadrate. Der H-Baum zeichnet eine Strecke, dann an jedem Ende eine senkrechte Strecke, um den Faktor 1/√2 verkleinert. In beiden Fällen bringt jedes Stück zwei neue hervor:

Teile = 2^(n+1) − 1

Die Zahlen steigen schnell, daher die Grenze des Spielzeugs: Der Teppich endet bei 5 Stufen, die Bäume bei 6.

Sie sind dran

Wählen Sie eine Form und drehen Sie den Tiefenregler: Die Zahl der Teile erscheint bei jeder Stufe, so lassen sich die beiden Formeln oben nachprüfen. „Nächste Stufe“ geht eine Stufe weiter, „Abspielen“ reiht sie aneinander.

Beachten Sie, was sich nicht ändert: die Regel. Nur die Tiefe variiert, und die Figur enthält nie etwas anderes als dieselbe Idee, immer kleiner wiederholt.

Form

Tiefe 3

Teile 512

Die Zeichnung oben ist ein didaktisches Schema, nicht das Kunstwerk: Sie zeigt die Regel, gibt aber weder die Farben noch die Punktgröße noch die Körnung des Drucks wieder.

Was sich von Algorithmus zu Algorithmus ändert

Alle acht wenden eine Regel auf ihre eigenen Ergebnisse an. Verschieden sind die Ausgangsform und das, was über den Abbruch entscheidet: eine feste Tiefe oder ein begrenzter Zufall.

Sierpiński-Teppich: Der Teppich des Spielzeugs: ein Quadrat in 3 × 3 geteilt, das mittlere Feld entfernt, und dasselbe mit den acht anderen bis zur gewählten Tiefe (standardmäßig 4). Keine Zufallsziehung: Die Vielfalt eines Werks kommt aus seinen Einstellungen, Farben inklusive.
H-Baum: Der H-Baum des Spielzeugs. Eine zentrierte Strecke, dann an jedem Ende eine senkrechte Strecke, verkleinert um einen einstellbaren Faktor (standardmäßig 1/√2, 7 Stufen). Keine Zufallsziehung.
Fraktale Kreise: Der runde Cousin des Teppichs: dieselbe 3 × 3-Teilung, aber in jedes Feld wird ein Kreis eingeschrieben, statt es zu füllen. Durch die Wiederholung verschachteln sich die Ringe ineinander.
Apollonische Dichtung: Das apollonische Dichtungsnetz. Ein großer Kreis enthält zwei weitere, und in jedes verbleibende Kreisbogendreieck setzt man dank des Satzes von Descartes einen neuen Kreis, der seine drei Nachbarn berührt. Man hört auf, wenn ein Kreis kleiner als ein Pixel wird.
Pythagoras-Baum: Der Pythagoras-Baum des Spielzeugs. Ein Winkel bestimmt die Neigung des Dreiecks: Bei 45° ist der Baum symmetrisch, sonst neigt er sich zu einer Seite. Die Quadrate folgen der Neigung ihres Astes.
Rekursiver Schredder: Hier kommt der Zufall ins Spiel. Ein Rechteck wird an einer innerhalb von Grenzen gezogenen Stelle geteilt (standardmäßig zwischen 30 % und 70 % der Seite), und jedes Stück kann dort enden: sein Rechteck füllen, ein Zielmuster zeichnen oder eine Scheibe setzen. Es ist die einzige der Familie, deren Teilung sich von Seed zu Seed ändert.
Kleinsche Perlen: Kleinsche Perlen. Zwei Möbius-Transformationen und ihre Inversen erzeugen eine Gruppe, und man zeichnet die Kreise, die diese Gruppe mitnimmt. Gezeichnet werden Kreise, keine Pixel: Ein paar Tausend genügen, so wird ein endloser Zoom bezahlbar.
Droste: Der Droste-Effekt: ein Bild, das eine verkleinerte Kopie seiner selbst enthält, endlos. Jedes Pixel wird in logarithmisch-polaren Koordinaten neu gelesen, und ein Muster, das sich bei jeder Drehung wiederholt, wird automatisch selbstähnlich. Der Zoom schließt sich zur Schleife.