Attrattori strani
Si ripete la stessa equazione migliaia di volte e si conserva la traccia del punto.
La regola
Un attrattore strano nasce da un'equazione che si ripete. Si parte da un punto, si applica l'equazione per trovare il successivo e si ricomincia, migliaia di volte. Si tiene solo la traccia dei punti. Ecco la mappa di De Jong:
x' = sin(a·y) − cos(b·x)
y' = sin(c·x) − cos(d·y)
I quattro numeri a, b, c e d bastano a fissare la forma. L'equazione non ha nulla di casuale: stessi numeri, stessa nuvola. Ma una variazione minima di uno di essi sposta molti punti, e la figura può passare da un merletto a una semplice nuvola.
L'attrattore di Lorenz segue la stessa idea, con il tempo che scorre in modo continuo. Tre equazioni danno la velocità del punto:
dx/dt = σ(y − x)
dy/dt = x(ρ − z) − y
dz/dt = xy − βz
Si avanza a piccoli passi per seguire la traiettoria e la si guarda di fronte, con x in orizzontale e z in verticale. Gira intorno a due ali senza mai passare due volte dallo stesso posto.
Tocca a te
Muovi a e b: la nuvola di 20 000 punti si ricalcola a ogni movimento del cursore e si inquadra da sola. Cerca i punti in cui la figura cambia di colpo.
Il pulsante Lorenz cambia sistema. La traiettoria si disegna a poco a poco, come un tratto di matita, e ρ ne regola l'aspetto: intorno a 28 si ritrovano le due ali.
Il disegno qui sopra è uno schema didattico, non l'opera: mostra la regola, ma non riproduce i colori, la dimensione dei punti né la grana della stampa.
Cosa cambia da un algoritmo all'altro
La famiglia comprende due mappe che si ripetono e un sistema che scorre in modo continuo. Nessuno dei tre usa il caso mentre disegna: tutto viene dai numeri scelti all'inizio.
- Attrattore di De Jong
- La mappa di Peter de Jong, quella del gioco qui sopra. Quattro coefficienti, a, b, c e d, fissano tutta la forma: una trama di fili sottilissimi.
- Attrattore di Clifford
- La mappa di Clifford Pickover: x' = sin(a·y) + c·cos(a·x) e y' = sin(b·x) + d·cos(b·y). Stessa idea, ma le figure sono piuttosto veli lisci che si avvolgono.
- Attrattore di Lorenz
- La farfalla di Lorenz, nata da un modello di convezione. Non è più una mappa ma un sistema di equazioni, seguito passo dopo passo e poi visto di fronte nel piano x-z. I valori classici sono σ = 10, ρ = 28 e β = 8/3, e le opere li fanno variare leggermente.
Ciò che decide il caso
Per ogni opera, il programma sorteggia queste impostazioni, entro limiti fissati in anticipo.
- Parametro a Attrattore di De Jong da -2,5 a 2,5
- Parametro b Attrattore di De Jong da -2,5 a 2,5
- Parametro rho Attrattore di Lorenz da 26 a 34
Gli algoritmi di questa famiglia
- Attrattore di De Jong
- Attrattore di Clifford
- Attrattore di Lorenz
