Seltsame Attraktoren
Dieselbe Gleichung wird tausendfach wiederholt, und die Spur des Punktes bleibt erhalten.
Die Regel
Ein seltsamer Attraktor entsteht aus einer Gleichung, die man wiederholt. Man startet bei einem Punkt, wendet die Gleichung an, um den nächsten zu finden, und beginnt wieder von vorn, tausende Male. Man behält nur die Spur der Punkte. Hier ist die De-Jong-Abbildung:
x' = sin(a·y) − cos(b·x)
y' = sin(c·x) − cos(d·y)
Die vier Zahlen a, b, c und d genügen, um die Form festzulegen. Die Gleichung enthält keinen Zufall: gleiche Zahlen, gleiche Punktwolke. Doch schon eine winzige Änderung an einer davon verschiebt viele Punkte, und die Figur kann von einer Spitze zu einer einfachen Wolke werden.
Der Lorenz-Attraktor folgt derselben Idee, nur fließt die Zeit stetig. Drei Gleichungen geben die Geschwindigkeit des Punktes an:
dx/dt = σ(y − x)
dy/dt = x(ρ − z) − y
dz/dt = xy − βz
Man geht in kleinen Schritten voran, um der Bahn zu folgen, und betrachtet sie von vorn, mit x waagerecht und z senkrecht. Sie kreist um zwei Flügel, ohne je zweimal an derselben Stelle vorbeizukommen.
Sie sind dran
Bewegen Sie a und b: Die Wolke aus 20 000 Punkten wird bei jeder Bewegung des Reglers neu berechnet und passt sich von selbst in den Rahmen ein. Suchen Sie die Stellen, an denen die Figur plötzlich kippt.
Die Schaltfläche Lorenz wechselt das System. Die Bahn zeichnet sich nach und nach, wie ein Bleistiftstrich, und ρ bestimmt ihr Aussehen: Um 28 findet man die zwei Flügel wieder.
Die Zeichnung oben ist ein didaktisches Schema, nicht das Kunstwerk: Sie zeigt die Regel, gibt aber weder die Farben noch die Punktgröße noch die Körnung des Drucks wieder.
Was sich von Algorithmus zu Algorithmus ändert
Die Familie besteht aus zwei Abbildungen, die man wiederholt, und einem System, das stetig fließt. Keiner der drei nutzt beim Zeichnen den Zufall: Alles kommt aus den Zahlen, die am Anfang gewählt werden.
- De-Jong-Attraktor
- Die Abbildung von Peter de Jong, die aus dem Spielzeug oben. Vier Koeffizienten, a, b, c und d, legen die ganze Form fest: ein Gewebe aus sehr feinen Fäden.
- Clifford-Attraktor
- Die Abbildung von Clifford Pickover: x' = sin(a·y) + c·cos(a·x) und y' = sin(b·x) + d·cos(b·y). Dieselbe Idee, aber die Figuren sind eher glatte Flächen, die sich einrollen.
- Lorenz-Attraktor
- Der Lorenz-Schmetterling, aus einem Konvektionsmodell. Es ist keine Abbildung mehr, sondern ein Gleichungssystem, das Schritt für Schritt verfolgt und dann von vorn in der x-z-Ebene betrachtet wird. Die klassischen Werte sind σ = 10, ρ = 28 und β = 8/3, und die Werke lassen sie leicht variieren.
Was der Zufall entscheidet
Für jedes Werk lost das Programm diese Einstellungen aus, innerhalb vorher festgelegter Grenzen.
- Parameter a De-Jong-Attraktor von -2,5 bis 2,5
- Parameter b De-Jong-Attraktor von -2,5 bis 2,5
- Parameter rho Lorenz-Attraktor von 26 bis 34
Die Algorithmen dieser Familie
- De-Jong-Attraktor
- Clifford-Attraktor
- Lorenz-Attraktor
