Attracteurs étranges
Une équation qu'on répète des milliers de fois, et on garde juste la trace du point.
C'est quoi, la règle ?
Un attracteur étrange, ça commence par une équation qu'on répète, bêtement. On part d'un point, on applique l'équation pour trouver le suivant, puis on recommence, des milliers de fois. On jette tout, sauf la trace des points. Voilà la carte de De Jong :
x' = sin(a·y) − cos(b·x)
y' = sin(c·x) − cos(d·y)
Quatre nombres, a, b, c et d, et la forme est fixée. Y a aucun hasard là-dedans : mêmes nombres, même nuage. Par contre, touche un tout petit peu à l'un d'eux et beaucoup de points se déplacent : la figure peut passer d'une dentelle à un simple nuage !
L'attracteur de Lorenz, c'est la même idée, sauf que le temps coule en continu. Trois équations donnent la vitesse du point :
dx/dt = σ(y − x)
dy/dt = x(ρ − z) − y
dz/dt = xy − βz
On avance par petits pas pour suivre la trajectoire, et on la regarde de face, avec x en abscisse et z en ordonnée. Elle tourne autour de deux ailes (le fameux papillon) sans jamais repasser deux fois au même endroit.
À toi de jouer
Bouge a et b : le nuage de 20 000 points se recalcule à chaque mouvement du curseur et se recadre tout seul. Essaie de repérer les endroits où la figure bascule d'un coup.
Le bouton « Lorenz » change de système. La trajectoire se dessine petit à petit, comme un trait de crayon, et ρ règle son allure : autour de 28, les deux ailes sont de retour.
Petite précision : le dessin ci-dessus est un schéma, pas l'œuvre. Il montre la règle, point. Les couleurs, la taille des points, le grain du tirage, il les rejoue pas.
Qu'est-ce qui change d'un algo à l'autre ?
Dans la famille, y a deux cartes qu'on répète et un système qui coule en continu. Aucun des trois ne touche au hasard pendant le dessin : tout vient des nombres choisis au départ.
- Attracteur de De Jong
- La carte de Peter de Jong, celle du jouet juste au-dessus. Quatre coefficients, a, b, c et d, fixent toute la forme : une trame de fils très fins.
- Attracteur de Clifford
- La carte de Clifford Pickover : x' = sin(a·y) + c·cos(a·x) et y' = sin(b·x) + d·cos(b·y). Même idée, mais là les figures ressemblent plutôt à des nappes lisses qui s'enroulent.
- Attracteur de Lorenz
- Le papillon de Lorenz, issu d'un modèle de convection. Ce n'est plus une carte mais un système d'équations, suivi pas à pas, puis vu de face dans le plan x-z. Les valeurs classiques sont σ = 10, ρ = 28 et β = 8/3, et les œuvres les font varier un peu.
Et le hasard, il décide quoi ?
Pour chaque œuvre, le programme tire ces réglages au sort, entre des bornes fixées à l'avance. Une fois tirés, ils bougent plus : ils font partie de l'identité de l'œuvre.
- Paramètre a Attracteur de De Jong de -2,5 à 2,5
- Paramètre b Attracteur de De Jong de -2,5 à 2,5
- Paramètre rho Attracteur de Lorenz de 26 à 34
Les algorithmes de cette famille
- Attracteur de De Jong
- Attracteur de Clifford
- Attracteur de Lorenz
